Trojúhelník 8 13 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 13
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 30,99989919191
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Úhel ∠ A = α = 13,79552993996° = 13°47'43″ = 0,24107733958 rad
Úhel ∠ B = β = 22,79882480997° = 22°47'54″ = 0,3987904493 rad
Úhel ∠ C = γ = 143,40664525007° = 143°24'23″ = 2,50329147647 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 7,75497479798
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,76990756799
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3.10998991919

Těžnice: t_a = 16,38659696082
Těžnice: t_b = 13,7754977314
Těžnice: t_c = 4,06220192023

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,51221459473
Poloměr opsané kružnice: R = 16,77547390417

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[7,375; 3.10998991919]
Těžiště: T[9,125; 1,03332997306]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -13,46881799037]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 1,51221459473]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,20547006004° = 166°12'17″ = 0,24107733958 rad
∠ B' = β' = 157,20217519003° = 157°12'6″ = 0,3987904493 rad
∠ C' = γ' = 36,59435474993° = 36°35'37″ = 2,50329147647 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 13 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 13 + 20 = 41

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 8) (20, 5 - 13) (20, 5 - 20) S = 960, 94 = 31

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1}{8} = 7, 75 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1}{1 3} = 4, 77 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1}{2 0} = 3, 1

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 0}) = 13 ° 4 7^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 0}) = 22 ° 4 7^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 4 7^{'} 43 " - 22 ° 4 7^{'} 54 " = 143 ° 2 4^{'} 23 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1}{2 0 , 5} = 1, 51

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 3 \cdot 2 0}{4 \cdot 1 , 5 1 2 \cdot 2 0 , 5} = 16, 77

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 16, 386 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 13, 775 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 4, 062

Vypočítat další trojúhelník