Trojúhelník 8 14 15
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 14
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 55,31221822025
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Úhel ∠ A = α = 31,78883306171° = 31°47'18″ = 0,5554811033 rad
Úhel ∠ B = β = 67,20109687281° = 67°12'3″ = 1,17328781648 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,01107006548° = 81°39″ = 1,41439034558 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,82880455506
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,90217403146
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,3754957627
Těžnice: ta = 13,9466325681
Těžnice: tb = 9,77224101428
Těžnice: tc = 8,58877820187
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,99898476866
Poloměr opsané kružnice: R = 7,5933263966
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[3,1; 7,3754957627]
Těžiště: T[6,03333333333; 2,4588319209]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 1,18664474947]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,99898476866]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,2121669383° = 148°12'42″ = 0,5554811033 rad
∠ B' = β' = 112,79990312719° = 112°47'57″ = 1,17328781648 rad
∠ C' = γ' = 98,98992993452° = 98°59'21″ = 1,41439034558 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=14 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+14+15=37
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−8)(18,5−14)(18,5−15) S=3059,44=55,31
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 55,31=13,83 vb=b2 S=142⋅ 55,31=7,9 vc=c2 S=152⋅ 55,31=7,37
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−82)=31°47′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−142)=67°12′3" γ=180°−α−β=180°−31°47′18"−67°12′3"=81°39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=18,555,31=2,99
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,99⋅ 18,58⋅ 14⋅ 15=7,59
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 152−82=13,946 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−142=9,772 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 142−152=8,588
Vypočítat další trojúhelník