Trojúhelník 8 14 17
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 14
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 55,5298708791
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Úhel ∠ A = α = 27,81656217566° = 27°48'56″ = 0,48554741831 rad
Úhel ∠ B = β = 54,74657416998° = 54°44'45″ = 0,95554934441 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,43986365436° = 97°26'19″ = 1,70106250263 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,88221771978
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,93326726844
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,53327892695
Těžnice: ta = 15,05499169433
Těžnice: tb = 11,29215897906
Těžnice: tc = 7,59993420768
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,84876260918
Poloměr opsané kružnice: R = 8,57221424172
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[4,61876470588; 6,53327892695]
Těžiště: T[7,20658823529; 2,17875964232]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -1,11097862951]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,84876260918]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 152,18443782434° = 152°11'4″ = 0,48554741831 rad
∠ B' = β' = 125,25442583002° = 125°15'15″ = 0,95554934441 rad
∠ C' = γ' = 82,56113634564° = 82°33'41″ = 1,70106250263 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=14 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+14+17=39
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−8)(19,5−14)(19,5−17) S=3083,44=55,53
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 55,53=13,88 vb=b2 S=142⋅ 55,53=7,93 vc=c2 S=172⋅ 55,53=6,53
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 17142+172−82)=27°48′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1782+172−142)=54°44′45" γ=180°−α−β=180°−27°48′56"−54°44′45"=97°26′19"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=19,555,53=2,85
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,848⋅ 19,58⋅ 14⋅ 17=8,57
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 172−82=15,05 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 82−142=11,292 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 142−172=7,599
Vypočítat další trojúhelník