Trojúhelník 8 15 17

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 15
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 60
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Úhel ∠ A = α = 28,07224869359° = 28°4'21″ = 0,49899573263 rad
Úhel ∠ B = β = 61,92875130641° = 61°55'39″ = 1,08108390005 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,05988235294

Těžnice: t_a = 15,52441746963
Těžnice: t_b = 10,96658560997
Těžnice: t_c = 8,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 3
Poloměr opsané kružnice: R = 8,5

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[3,76547058824; 7,05988235294]
Těžiště: T[6,92215686275; 2,35329411765]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 3]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,92875130642° = 151°55'39″ = 0,49899573263 rad
∠ B' = β' = 118,07224869359° = 118°4'21″ = 1,08108390005 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 15 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 8) (20 - 15) (20 - 17) S = 3600 = 60

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 0}{8} = 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 5} = 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 0}{1 7} = 7, 06

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 28 ° 4^{'} 21 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 7}) = 61 ° 5 5^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 28 ° 4^{'} 21 " - 61 ° 5 5^{'} 39 " = 90 °

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 0}{2 0} = 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 0} = 8, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 15, 524 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 10, 966 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 8, 5

Vypočítat další trojúhelník