Trojúhelník 8 15 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 15
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 53,19771568789
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Úhel ∠ A = α = 20,77218550453° = 20°46'19″ = 0,36325372623 rad
Úhel ∠ B = β = 41,68795989952° = 41°40'47″ = 0,72774462334 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,54985459595° = 117°32'55″ = 2,05216091579 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,29992892197
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,09329542505
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,32197156879

Těžnice: t_a = 17,21991753577
Těžnice: t_b = 13,25770735836
Těžnice: t_c = 6,67108320321

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,47442863665
Poloměr opsané kružnice: R = 11,27987982517

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[5,975; 5,32197156879]
Těžiště: T[8,65883333333; 1,77332385626]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -5,21664441914]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 2,47442863665]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,22881449547° = 159°13'41″ = 0,36325372623 rad
∠ B' = β' = 138,32204010048° = 138°19'13″ = 0,72774462334 rad
∠ C' = γ' = 62,45114540405° = 62°27'5″ = 2,05216091579 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 15 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 15 + 20 = 43

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 8) (21, 5 - 15) (21, 5 - 20) S = 2829, 94 = 53, 2

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 3 , 2}{8} = 13, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 3 , 2}{1 5} = 7, 09 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 3 , 2}{2 0} = 5, 32

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}) = 20 ° 4 6^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 0}) = 41 ° 4 0^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 20 ° 4 6^{'} 19 " - 41 ° 4 0^{'} 47 " = 117 ° 3 2^{'} 55 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 3 , 2}{2 1 , 5} = 2, 47

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 5 \cdot 2 0}{4 \cdot 2 , 4 7 4 \cdot 2 1 , 5} = 11, 28

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 17, 219 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 13, 257 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 6, 671

Vypočítat další trojúhelník