Trojúhelník 8 15 21

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 15
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 46,4332747065
Obvod trojúhelníku: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Úhel ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Úhel ∠ B = β = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Úhel ∠ C = γ = 129,29664802392° = 129°17'47″ = 2,25766492914 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,60881867662
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,1911032942
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,42221663871

Těžnice: t_a = 17,80444938148
Těžnice: t_b = 14,00989257261
Těžnice: t_c = 5,85223499554

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,1110579412
Poloměr opsané kružnice: R = 13,5688010506

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[6,66766666667; 4,42221663871]
Těžiště: T[9,22222222222; 1,47440554624]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -8,59330733205]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 2,1110579412]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ C' = γ' = 50,70435197608° = 50°42'13″ = 2,25766492914 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 15 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 15 + 21 = 44

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 4}{2} = 22

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22 (22 - 8) (22 - 15) (22 - 21) S = 2156 = 46, 43

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 6 , 4 3}{8} = 11, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 6 , 4 3}{1 5} = 6, 19 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 6 , 4 3}{2 1} = 4, 42

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 1}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 1}) = 33 ° 3 3^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 33 ° 3 3^{'} 26 " = 129 ° 1 7^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 6 , 4 3}{2 2} = 2, 11

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 5 \cdot 2 1}{4 \cdot 2 , 1 1 1 \cdot 2 2} = 13, 57

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 17, 804 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 14, 009 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 5, 852

Vypočítat další trojúhelník