Trojúhelník 8 17 20
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 17
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 66,97771416231
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Úhel ∠ A = α = 23,20325730572° = 23°12'9″ = 0,40549612948 rad
Úhel ∠ B = β = 56,84771120714° = 56°50'50″ = 0,99221692759 rad
Úhel ∠ C = γ = 99,95503148714° = 99°57'1″ = 1,74444620829 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,74442854058
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,88796637204
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,69877141623
Těžnice: ta = 18,12545689604
Těžnice: tb = 12,63992246598
Těžnice: tc = 8,74664278423
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,97767618499
Poloměr opsané kružnice: R = 10,1532717532
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[4,375; 6,69877141623]
Těžiště: T[8,125; 2,23325713874]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -1,75443298677]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,97767618499]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,79774269428° = 156°47'51″ = 0,40549612948 rad
∠ B' = β' = 123,15328879286° = 123°9'10″ = 0,99221692759 rad
∠ C' = γ' = 80,05496851286° = 80°2'59″ = 1,74444620829 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=17 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+17+20=45
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−8)(22,5−17)(22,5−20) S=4485,94=66,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 66,98=16,74 vb=b2 S=172⋅ 66,98=7,88 vc=c2 S=202⋅ 66,98=6,7
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−82)=23°12′9" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2082+202−172)=56°50′50" γ=180°−α−β=180°−23°12′9"−56°50′50"=99°57′1"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=22,566,98=2,98
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,977⋅ 22,58⋅ 17⋅ 20=10,15
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 202−82=18,125 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 82−172=12,639 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 172−202=8,746
Vypočítat další trojúhelník