Trojúhelník 8 17 21

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 17
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 64,34328317686
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Úhel ∠ A = α = 21,12986972543° = 21°7'43″ = 0,36987653337 rad
Úhel ∠ B = β = 49,99547991151° = 49°59'41″ = 0,87325738534 rad
Úhel ∠ C = γ = 108,87765036306° = 108°52'35″ = 1.99002534664 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,08657079421
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,5769744914
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,12878887399

Těžnice: t_a = 18,68215416923
Těžnice: t_b = 13,42657215821
Těžnice: t_c = 8,1399410298

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,79875144247
Poloměr opsané kružnice: R = 11,09768072181

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[5,14328571429; 6,12878887399]
Těžiště: T[8,71442857143; 2,043262958]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -3,59901435117]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,79875144247]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,87113027457° = 158°52'17″ = 0,36987653337 rad
∠ B' = β' = 130,00552008849° = 130°19″ = 0,87325738534 rad
∠ C' = γ' = 71,12334963694° = 71°7'25″ = 1.99002534664 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 17 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 17 + 21 = 46

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 8) (23 - 17) (23 - 21) S = 4140 = 64, 34

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 4 , 3 4}{8} = 16, 09 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 4 , 3 4}{1 7} = 7, 57 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 4 , 3 4}{2 1} = 6, 13

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 1}) = 21 ° 7^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 1}) = 49 ° 5 9^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 7^{'} 43 " - 49 ° 5 9^{'} 41 " = 108 ° 5 2^{'} 35 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 4 , 3 4}{2 3} = 2, 8

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 7 \cdot 2 1}{4 \cdot 2 , 7 9 8 \cdot 2 3} = 11, 1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 18, 682 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 13, 426 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 8, 139

Vypočítat další trojúhelník