Trojúhelník 8 18 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 18
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 40,90876704299
Obvod trojúhelníku: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Úhel ∠ A = α = 10,47553138432° = 10°28'31″ = 0,18328287167 rad
Úhel ∠ B = β = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Úhel ∠ C = γ = 145,37878381603° = 145°22'40″ = 2,53773219353 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,22769176075
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,54552967144
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,27326136344

Těžnice: t_a = 21,41326131054
Těžnice: t_b = 16,23326830807
Těžnice: t_c = 6,14441028637

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,60442223698
Poloměr opsané kružnice: R = 22,00107639287

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[7,3; 3,27326136344]
Těžiště: T[10,76766666667; 1,09108712115]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -18,10547953163]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 1,60442223698]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,52546861568° = 169°31'29″ = 0,18328287167 rad
∠ B' = β' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ C' = γ' = 34,62221618397° = 34°37'20″ = 2,53773219353 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 18 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 18 + 25 = 51

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 8) (25, 5 - 18) (25, 5 - 25) S = 1673, 44 = 40, 91

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 1}{8} = 10, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 1}{1 8} = 4, 55 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 1}{2 5} = 3, 27

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 5}) = 10 ° 2 8^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 5}) = 24 ° 8^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 2 8^{'} 31 " - 24 ° 8^{'} 49 " = 145 ° 2 2^{'} 40 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 9 1}{2 5 , 5} = 1, 6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 8 \cdot 2 5}{4 \cdot 1 , 6 0 4 \cdot 2 5 , 5} = 22

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 21, 413 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 16, 233 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 6, 144

Vypočítat další trojúhelník