Trojúhelník 8 22 24
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 22
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 87,72111491033
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Úhel ∠ A = α = 19,40770433824° = 19°24'25″ = 0,33987168051 rad
Úhel ∠ B = β = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,15224499404 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,56224389353° = 94°33'45″ = 1,65504259081 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 21,93302872758
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,97546499185
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,31100957586
Těžnice: ta = 22,67215680975
Těžnice: tb = 14,10767359797
Těžnice: tc = 11,4021754251
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,24989314483
Poloměr opsané kružnice: R = 12,03881459978
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[3,25; 7,31100957586]
Těžiště: T[9,08333333333; 2,43766985862]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -0,95875797953]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 3,24989314483]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,59329566176° = 160°35'35″ = 0,33987168051 rad
∠ B' = β' = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,15224499404 rad
∠ C' = γ' = 85,43875610647° = 85°26'15″ = 1,65504259081 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=22 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+22+24=54
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−8)(27−22)(27−24) S=7695=87,72
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 87,72=21,93 vb=b2 S=222⋅ 87,72=7,97 vc=c2 S=242⋅ 87,72=7,31
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 24222+242−82)=19°24′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2482+242−222)=66°1′50" γ=180°−α−β=180°−19°24′25"−66°1′50"=94°33′45"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2787,72=3,25
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,249⋅ 278⋅ 22⋅ 24=12,04
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 242−82=22,672 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 82−222=14,107 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 222−242=11,402
Vypočítat další trojúhelník