Trojúhelník 8 22 26
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 22
c = 26
Obsah trojúhelníku: S = 81,97656061277
Obvod trojúhelníku: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28
Úhel ∠ A = α = 16,65661861814° = 16°39'22″ = 0,29107052897 rad
Úhel ∠ B = β = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 0,90879225031 rad
Úhel ∠ C = γ = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,94329648608 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 20,49439015319
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,45223278298
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,3065815856
Těžnice: ta = 23,74986841741
Těžnice: tb = 15,78797338381
Těžnice: tc = 10,2476950766
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,92877002188
Poloměr opsané kružnice: R = 13,95553710432
Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[4,92330769231; 6,3065815856]
Těžiště: T[10,30876923077; 2,10219386187]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -5,07546803793]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,92877002188]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,34438138187° = 163°20'38″ = 0,29107052897 rad
∠ B' = β' = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 0,90879225031 rad
∠ C' = γ' = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,94329648608 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=22 c=26
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+22+26=56
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=256=28
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28(28−8)(28−22)(28−26) S=6720=81,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 81,98=20,49 vb=b2 S=222⋅ 81,98=7,45 vc=c2 S=262⋅ 81,98=6,31
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 26222+262−82)=16°39′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2682+262−222)=52°1′12" γ=180°−α−β=180°−16°39′22"−52°1′12"=111°19′25"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2881,98=2,93
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,928⋅ 288⋅ 22⋅ 26=13,96
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 262−82=23,749 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 82−222=15,78 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 222−262=10,247
Vypočítat další trojúhelník