Trojúhelník 8 22 27

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 22
c = 27

Obsah trojúhelníku: S = 75,47547474325
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Úhel ∠ A = α = 14,7221668176° = 14°43'18″ = 0,25769415811 rad
Úhel ∠ B = β = 44,33440313162° = 44°20'3″ = 0,77437748172 rad
Úhel ∠ C = γ = 120,94443005078° = 120°56'39″ = 2,11108762554 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,86986868581
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,86113406757
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,5910722032

Těžnice: t_a = 24.33002057604
Těžnice: t_b = 16,59881926727
Těžnice: t_c = 9,57986220303

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,6488236752
Poloměr opsané kružnice: R = 15,74403640345

Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[5,72222222222; 5,5910722032]
Těžiště: T[10,90774074074; 1,86435740107]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; -8,09437667337]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 2,6488236752]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,2788331824° = 165°16'42″ = 0,25769415811 rad
∠ B' = β' = 135,66659686838° = 135°39'57″ = 0,77437748172 rad
∠ C' = γ' = 59,05656994922° = 59°3'21″ = 2,11108762554 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 22 c = 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 22 + 27 = 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 8) (28, 5 - 22) (28, 5 - 27) S = 5696, 44 = 75, 47

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5 , 4 7}{8} = 18, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5 , 4 7}{2 2} = 6, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5 , 4 7}{2 7} = 5, 59

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 7}) = 14 ° 4 3^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 7}) = 44 ° 2 0^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 4 3^{'} 18 " - 44 ° 2 0^{'} 3 " = 120 ° 5 6^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5 , 4 7}{2 8 , 5} = 2, 65

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 2 2 \cdot 2 7}{4 \cdot 2 , 6 4 8 \cdot 2 8 , 5} = 15, 74

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 24, 3 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 16, 598 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 9, 579

Vypočítat další trojúhelník