Trojúhelník 8 22 28

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 22
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 65,29216533716
Obvod trojúhelníku: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Úhel ∠ A = α = 12,23987557679° = 12°14'20″ = 0,21436065845 rad
Úhel ∠ B = β = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Úhel ∠ C = γ = 132,10221565359° = 132°6'8″ = 2,30656175805 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,32329133429
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,9365604852
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,66436895265

Těžnice: t_a = 24,86596057893
Těžnice: t_b = 17,40768951855
Těžnice: t_c = 8,83217608663

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,25114363232
Poloměr opsané kružnice: R = 18,86991806131

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[6,5; 4,66436895265]
Těžiště: T[11,5; 1,55545631755]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; -12,65109279111]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 2,25114363232]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,76112442321° = 167°45'40″ = 0,21436065845 rad
∠ B' = β' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ C' = γ' = 47,89878434641° = 47°53'52″ = 2,30656175805 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 22 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 22 + 28 = 58

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 8) (29 - 22) (29 - 28) S = 4263 = 65, 29

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{8} = 16, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 2} = 5, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 8} = 4, 66

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 8}) = 12 ° 1 4^{'} 20 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 8}) = 35 ° 3 9^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 1 4^{'} 20 " - 35 ° 3 9^{'} 33 " = 132 ° 6^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 5 , 2 9}{2 9} = 2, 25

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 2 2 \cdot 2 8}{4 \cdot 2 , 2 5 1 \cdot 2 9} = 18, 87

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 24, 86 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 17, 407 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 8, 832

Vypočítat další trojúhelník