Trojúhelník 8 8 12




Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 8
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 31,74990157328
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,93772539332
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,93772539332
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,29215026221

Těžnice: ta = 9,38108315196
Těžnice: tb = 9,38108315196
Těžnice: tc = 5,29215026221

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,26877868381
Poloměr opsané kružnice: R = 6,04774315681

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[6; 5,29215026221]
Těžiště: T[6; 1,76438342074]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -0,7565928946]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,26877868381]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=8 c=12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=8+8+12=28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o​=228​=14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−8)(14−8)(14−12) S=14⋅ 6⋅ 6⋅ 2 S=1008=31,749S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 14(14-8)(14-8)(14-12) } \ \\ S = \sqrt{ 14 \cdot \ 6 \cdot \ 6 \cdot \ 2 } \ \\ S = \sqrt{ 1008 } = 31{,}749

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 31,7498=7,937 vb=2 Sb=2⋅ 31,7498=7,937 vc=2 Sc=2⋅ 31,74912=5,292S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 31{,}749 }{ 8 } = 7{,}937 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 31{,}749 }{ 8 } = 7{,}937 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 31{,}749 }{ 12 } = 5{,}292

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 8⋅ 1282+122−82​)=41°24′35"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 8⋅ 1282+122−82​)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−41°24′35"−41°24′35"=97°10′51"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=31,74914=2,268S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 31{,}749 }{ 14 } = 2{,}268

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=8⋅ 8⋅ 124⋅ 2,268⋅ 14=6,047R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 8 \cdot \ 8 \cdot \ 12 }{ 4 \cdot \ 2{,}268 \cdot \ 14 } = 6{,}047

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 82+2⋅ 122−822=9,381 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 122+2⋅ 82−822=9,381 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 82+2⋅ 82−1222=5,292t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 12^2 - 8^2 } }{ 2 } = 9{,}381 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 12^2+2 \cdot \ 8^2 - 8^2 } }{ 2 } = 9{,}381 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 8^2 - 12^2 } }{ 2 } = 5{,}292

Vypočítat další trojúhelník