Trojúhelník 8 9 13

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 9
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 35,49664786986
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Úhel ∠ A = α = 37,35768519729° = 37°21'25″ = 0,65220000651 rad
Úhel ∠ B = β = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Úhel ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,87441196746
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,88881063775
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,46109967229

Těžnice: t_a = 10,44403065089
Těžnice: t_b = 9,81107084352
Těžnice: t_c = 5,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,36664319132
Poloměr opsané kružnice: R = 6,59222031869

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[5,84661538462; 5,46109967229]
Těžiště: T[6,28220512821; 1,8220332241]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -1,09987005311]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,36664319132]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,64331480271° = 142°38'35″ = 0,65220000651 rad
∠ B' = β' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 9 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 9 + 13 = 30

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 8) (15 - 9) (15 - 13) S = 1260 = 35, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{8} = 8, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{9} = 7, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{1 3} = 5, 46

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 3}) = 37 ° 2 1^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 3}) = 43 ° 2^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 2 1^{'} 25 " - 43 ° 2^{'} 57 " = 99 ° 3 5^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 5 , 5}{1 5} = 2, 37

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 , 3 6 6 \cdot 1 5} = 6, 59

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 10, 44 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 9, 811 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 5, 5

Vypočítat další trojúhelník