Trojúhelník 8 9 16
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 9
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 22,93333272771
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Úhel ∠ A = α = 18,57333497187° = 18°34'24″ = 0,32441661057 rad
Úhel ∠ B = β = 20,99878697385° = 20°59'52″ = 0,36664819628 rad
Úhel ∠ C = γ = 140,42987805428° = 140°25'44″ = 2,4510944585 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,73333318193
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,09662949505
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,86766659096
Těžnice: ta = 12,34990890352
Těžnice: tb = 11,82215904175
Těžnice: tc = 2,91554759474
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,39898986229
Poloměr opsané kružnice: R = 12,55881428512
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[7,469875; 2,86766659096]
Těžiště: T[7,82329166667; 0,95655553032]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -9,68802351145]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 1,39898986229]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,42766502813° = 161°25'36″ = 0,32441661057 rad
∠ B' = β' = 159,00221302615° = 159°8″ = 0,36664819628 rad
∠ C' = γ' = 39,57112194572° = 39°34'16″ = 2,4510944585 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=9 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+9+16=33
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−8)(16,5−9)(16,5−16) S=525,94=22,93
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 22,93=5,73 vb=b2 S=92⋅ 22,93=5,1 vc=c2 S=162⋅ 22,93=2,87
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1692+162−82)=18°34′24" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1682+162−92)=20°59′52" γ=180°−α−β=180°−18°34′24"−20°59′52"=140°25′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=16,522,93=1,39
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,39⋅ 16,58⋅ 9⋅ 16=12,56
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 162−82=12,349 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 82−92=11,822 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 92−162=2,915
Vypočítat další trojúhelník