Trojúhelník 9 10 11
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 10
c = 11
Obsah trojúhelníku: S = 42,42664068712
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15
Úhel ∠ A = α = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Úhel ∠ B = β = 58,99224169931° = 58°59'33″ = 1,03296119102 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,42880904158
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,48552813742
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,71438921584
Těžnice: ta = 9,5
Těžnice: tb = 8,71877978871
Těžnice: tc = 7,76220873481
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,82884271247
Poloměr opsané kružnice: R = 5,83436309448
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[4,63663636364; 7,71438921584]
Těžiště: T[5,21221212121; 2,57112973861]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,94545436483]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,82884271247]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ B' = β' = 121,00875830069° = 121°27″ = 1,03296119102 rad
∠ C' = γ' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=10 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+10+11=30
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=230=15
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15(15−9)(15−10)(15−11) S=1800=42,43
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 42,43=9,43 vb=b2 S=102⋅ 42,43=8,49 vc=c2 S=112⋅ 42,43=7,71
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−92)=50°28′44" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−102)=58°59′33" γ=180°−α−β=180°−50°28′44"−58°59′33"=70°31′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1542,43=2,83
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,828⋅ 159⋅ 10⋅ 11=5,83
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 112−92=9,5 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 92−102=8,718 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 102−112=7,762
Vypočítat další trojúhelník