Trojúhelník 9 10 12

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 10
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 44,03990451758
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Úhel ∠ A = α = 47,22114422911° = 47°13'17″ = 0,82441696455 rad
Úhel ∠ B = β = 54,64105803778° = 54°38'26″ = 0,95436580328 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,13879773311° = 78°8'17″ = 1,36437649753 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,78664544835
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,80878090352
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,34398408626

Těžnice: t_a = 10,08771205009
Těžnice: t_b = 9,35441434669
Těžnice: t_c = 7,38224115301

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,8411228721
Poloměr opsané kružnice: R = 6,13109231143

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[5,20883333333; 7,34398408626]
Těžiště: T[5,73661111111; 2,44766136209]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 1,26602453068]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,8411228721]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,77985577089° = 132°46'43″ = 0,82441696455 rad
∠ B' = β' = 125,35994196222° = 125°21'34″ = 0,95436580328 rad
∠ C' = γ' = 101,86220226689° = 101°51'43″ = 1,36437649753 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 10 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 10 + 12 = 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 9) (15, 5 - 10) (15, 5 - 12) S = 1939, 44 = 44, 04

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 , 0 4}{9} = 9, 79 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 , 0 4}{1 0} = 8, 81 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 , 0 4}{1 2} = 7, 34

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 47 ° 1 3^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 2}) = 54 ° 3 8^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 1 3^{'} 17 " - 54 ° 3 8^{'} 26 " = 78 ° 8^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 , 0 4}{1 5 , 5} = 2, 84

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 1 2}{4 \cdot 2 , 8 4 1 \cdot 1 5 , 5} = 6, 13

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 10, 087 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 9, 354 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 7, 382

Vypočítat další trojúhelník