Trojúhelník 9 10 15

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 10
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 43,63548484585
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Úhel ∠ A = α = 35,57771025511° = 35°34'38″ = 0,62109375778 rad
Úhel ∠ B = β = 40,274389294° = 40°16'26″ = 0,70329120344 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,14990045089° = 104°8'56″ = 1,81877430414 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,69766329908
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,72769696917
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,81879797945

Těžnice: t_a = 11,92768604419
Těžnice: t_b = 11,3143708499
Těžnice: t_c = 5,85223499554

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,56767557917
Poloměr opsané kružnice: R = 7,73546435687

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,86766666667; 5,81879797945]
Těžiště: T[7,28988888889; 1,93993265982]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -1,89106906501]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 2,56767557917]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,42328974489° = 144°25'22″ = 0,62109375778 rad
∠ B' = β' = 139,726610706° = 139°43'34″ = 0,70329120344 rad
∠ C' = γ' = 75,85109954911° = 75°51'4″ = 1,81877430414 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 10 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 10 + 15 = 34

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 9) (17 - 10) (17 - 15) S = 1904 = 43, 63

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 3 , 6 3}{9} = 9, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 3 , 6 3}{1 0} = 8, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 3 , 6 3}{1 5} = 5, 82

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5}) = 35 ° 3 4^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 40 ° 1 6^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 3 4^{'} 38 " - 40 ° 1 6^{'} 26 " = 104 ° 8^{'} 56 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 3 , 6 3}{1 7} = 2, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 5 6 7 \cdot 1 7} = 7, 73

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 11, 927 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 11, 314 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 5, 852

Vypočítat další trojúhelník