Trojúhelník 9 10 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 10
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 36
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Úhel ∠ A = α = 25,05876154183° = 25°3'27″ = 0,43773378917 rad
Úhel ∠ B = β = 28,07224869359° = 28°4'21″ = 0,49899573263 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 2,21442974356 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,2
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,23552941176

Těžnice: t_a = 13.22003787824
Těžnice: t_b = 12,64991106407
Těžnice: t_c = 4,27220018727

Poloměr vepsané kružnice: r = 2
Poloměr opsané kružnice: R = 10,625

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[7,94111764706; 4,23552941176]
Těžiště: T[8,31437254902; 1,41217647059]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -6,375]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 2]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,94223845817° = 154°56'33″ = 0,43773378917 rad
∠ B' = β' = 151,92875130642° = 151°55'39″ = 0,49899573263 rad
∠ C' = γ' = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 2,21442974356 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 10 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 10 + 17 = 36

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6}{2} = 18

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18 (18 - 9) (18 - 10) (18 - 17) S = 1296 = 36

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6}{9} = 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6}{1 0} = 7, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6}{1 7} = 4, 24

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 25 ° 3^{'} 27 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 7}) = 28 ° 4^{'} 21 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 3^{'} 27 " - 28 ° 4^{'} 21 " = 126 ° 5 2^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6}{1 8} = 2

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 1 7}{4 \cdot 2 \cdot 1 8} = 10, 63

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 13, 2 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 12, 649 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 4, 272

Vypočítat další trojúhelník