Trojúhelník 9 11 14

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 11
c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 49,47772675074
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Úhel ∠ A = α = 39,98331214543° = 39°58'59″ = 0,69878371146 rad
Úhel ∠ B = β = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 0,90332668822 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,26334984241° = 88°15'49″ = 1,54404886568 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,9954948335
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,99658668195
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,06881810725

Těžnice: t_a = 11,75879760163
Těžnice: t_b = 10,40443260233
Těžnice: t_c = 7,21111025509

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,91104275004
Poloměr opsané kružnice: R = 7,00332161729

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[5,57114285714; 7,06881810725]
Těžiště: T[6,52438095238; 2,35660603575]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; 0,21222186719]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,91104275004]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,01768785457° = 140°1'1″ = 0,69878371146 rad
∠ B' = β' = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 0,90332668822 rad
∠ C' = γ' = 91,73765015759° = 91°44'11″ = 1,54404886568 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 11 c = 14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 11 + 14 = 34

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 9) (17 - 11) (17 - 14) S = 2448 = 49, 48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 9 , 4 8}{9} = 10, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 9 , 4 8}{1 1} = 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 9 , 4 8}{1 4} = 7, 07

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 4}) = 39 ° 5 8^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 4}) = 51 ° 4 5^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 5 8^{'} 59 " - 51 ° 4 5^{'} 12 " = 88 ° 1 5^{'} 49 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 9 , 4 8}{1 7} = 2, 91

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 1 \cdot 1 4}{4 \cdot 2 , 9 1 \cdot 1 7} = 7

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 11, 758 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 404 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 7, 211

Vypočítat další trojúhelník