Trojúhelník 9 11 15

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 11
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 49,16549010982
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Úhel ∠ A = α = 36,58795428375° = 36°34'46″ = 0,63884334614 rad
Úhel ∠ B = β = 46,75498273458° = 46°44'59″ = 0,81659384119 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,67106298167° = 96°40'14″ = 1,68772207803 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,92655335774
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,9399072927
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,55553201464

Těžnice: t_a = 12,35992070943
Těžnice: t_b = 11,07992599031
Těžnice: t_c = 6,69895440801

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,80994229199
Poloměr opsané kružnice: R = 7,55111186173

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,16766666667; 6,55553201464]
Těžiště: T[7,05655555556; 2,18551067155]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -0,87771501424]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 2,80994229199]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,42204571625° = 143°25'14″ = 0,63884334614 rad
∠ B' = β' = 133,25501726542° = 133°15'1″ = 0,81659384119 rad
∠ C' = γ' = 83,32993701833° = 83°19'46″ = 1,68772207803 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 11 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 11 + 15 = 35

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 9) (17, 5 - 11) (17, 5 - 15) S = 2417, 19 = 49, 16

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 9 , 1 6}{9} = 10, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 9 , 1 6}{1 1} = 8, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 9 , 1 6}{1 5} = 6, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 5}) = 36 ° 3 4^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 46 ° 4 4^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 3 4^{'} 46 " - 46 ° 4 4^{'} 59 " = 96 ° 4 0^{'} 14 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 9 , 1 6}{1 7 , 5} = 2, 81

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 1 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 8 0 9 \cdot 1 7 , 5} = 7, 55

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 12, 359 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 11, 079 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 6, 69

Vypočítat další trojúhelník