Trojúhelník 9 11 17
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 11
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 44,46655765733
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Úhel ∠ A = α = 28,39663170018° = 28°23'47″ = 0,49656092271 rad
Úhel ∠ B = β = 35,53884645156° = 35°32'18″ = 0,62202632169 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,06552184826° = 116°3'55″ = 2,02657202096 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,88112392385
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,08546502861
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,23112443027
Těžnice: ta = 13,59222772191
Těžnice: tb = 12,44398553046
Těžnice: tc = 5,36219026474
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,40435446796
Poloměr opsané kružnice: R = 9,46223758967
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[7,32435294118; 5,23112443027]
Těžiště: T[8,10878431373; 1,74437481009]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -4,15877106213]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 2,40435446796]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,60436829982° = 151°36'13″ = 0,49656092271 rad
∠ B' = β' = 144,46215354844° = 144°27'42″ = 0,62202632169 rad
∠ C' = γ' = 63,93547815174° = 63°56'5″ = 2,02657202096 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=11 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+11+17=37
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−9)(18,5−11)(18,5−17) S=1977,19=44,47
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 44,47=9,88 vb=b2 S=112⋅ 44,47=8,08 vc=c2 S=172⋅ 44,47=5,23
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 17112+172−92)=28°23′47" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1792+172−112)=35°32′18" γ=180°−α−β=180°−28°23′47"−35°32′18"=116°3′55"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=18,544,47=2,4
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,404⋅ 18,59⋅ 11⋅ 17=9,46
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 172−92=13,592 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 92−112=12,44 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 112−172=5,362
Vypočítat další trojúhelník