Trojúhelník 9 12 13

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 12
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 52,15436192416
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Úhel ∠ A = α = 41,96218888284° = 41°57'43″ = 0,73223731204 rad
Úhel ∠ B = β = 63,06442249308° = 63°3'51″ = 1,10106783653 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,97438862409° = 74°58'26″ = 1,30985411679 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,59896931648
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,69222698736
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,02436337295

Těžnice: t_a = 11,67326175299
Těžnice: t_b = 9,43439811321
Těžnice: t_c = 8,38215273071

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,06878599554
Poloměr opsané kružnice: R = 6,73301177771

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[4,07769230769; 8,02436337295]
Těžiště: T[5,69223076923; 2,67545445765]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 1,74548453496]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 3,06878599554]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,03881111717° = 138°2'17″ = 0,73223731204 rad
∠ B' = β' = 116,93657750692° = 116°56'9″ = 1,10106783653 rad
∠ C' = γ' = 105,02661137591° = 105°1'34″ = 1,30985411679 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 12 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 12 + 13 = 34

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 9) (17 - 12) (17 - 13) S = 2720 = 52, 15

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 , 1 5}{9} = 11, 59 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 , 1 5}{1 2} = 8, 69 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 , 1 5}{1 3} = 8, 02

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}) = 41 ° 5 7^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 3}) = 63 ° 3^{'} 51 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 5 7^{'} 43 " - 63 ° 3^{'} 51 " = 74 ° 5 8^{'} 26 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 , 1 5}{1 7} = 3, 07

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 2 \cdot 1 3}{4 \cdot 3 , 0 6 8 \cdot 1 7} = 6, 73

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 11, 673 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 434 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 8, 382

Vypočítat další trojúhelník