Trojúhelník 9 12 14

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 12
c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 53,511109698
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Úhel ∠ A = α = 39,57112194572° = 39°34'16″ = 0,69106480686 rad
Úhel ∠ B = β = 58,1454569176° = 58°8'40″ = 1,01548141743 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,28442113668° = 82°17'3″ = 1,43661304108 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,89113548844
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,91985161633
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,64444424257

Těžnice: t_a = 12,23772382505
Těžnice: t_b = 10,12442283657
Těžnice: t_c = 7,96986887253

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,05877769703
Poloměr opsané kružnice: R = 7,06439553538

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[4,75; 7,64444424257]
Těžiště: T[6,25; 2,54881474752]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; 0,94884014132]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 3,05877769703]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,42987805428° = 140°25'44″ = 0,69106480686 rad
∠ B' = β' = 121,8555430824° = 121°51'20″ = 1,01548141743 rad
∠ C' = γ' = 97,71657886332° = 97°42'57″ = 1,43661304108 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 12 c = 14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 12 + 14 = 35

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 9) (17, 5 - 12) (17, 5 - 14) S = 2863, 44 = 53, 51

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 3 , 5 1}{9} = 11, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 3 , 5 1}{1 2} = 8, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 3 , 5 1}{1 4} = 7, 64

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4}) = 39 ° 3 4^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 4}) = 58 ° 8^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 3 4^{'} 16 " - 58 ° 8^{'} 40 " = 82 ° 1 7^{'} 3 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 3 , 5 1}{1 7 , 5} = 3, 06

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 2 \cdot 1 4}{4 \cdot 3 , 0 5 8 \cdot 1 7 , 5} = 7, 06

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 12, 237 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 10, 124 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 7, 969

Vypočítat další trojúhelník