Trojúhelník 9 12 15
Pravoúhlý různostranný Pytagorejský trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 12
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 54
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Úhel ∠ A = α = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Úhel ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,2
Těžnice: ta = 12,8166005618
Těžnice: tb = 10,81766538264
Těžnice: tc = 7,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 3
Poloměr opsané kružnice: R = 7,5
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[5,4; 7,2]
Těžiště: T[6,8; 2,4]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=12 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+12+15=36
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−9)(18−12)(18−15) S=2916=54
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 54=12 vb=b2 S=122⋅ 54=9 vc=c2 S=152⋅ 54=7,2
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−92)=36°52′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−122)=53°7′48" γ=180°−α−β=180°−36°52′12"−53°7′48"=90°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1854=3
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3⋅ 189⋅ 12⋅ 15=7,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−92=12,816 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 92−122=10,817 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 122−152=7,5
Vypočítat další trojúhelník