Trojúhelník 9 12 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 12
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 51,57551878329
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Úhel ∠ A = α = 30,37437861998° = 30°22'26″ = 0,53301225755 rad
Úhel ∠ B = β = 42,39109285431° = 42°23'27″ = 0,74398612761 rad
Úhel ∠ C = γ = 107,23552852571° = 107°14'7″ = 1,87216088021 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,46111528518
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,59658646388
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,06876691568

Těžnice: t_a = 14,00989257261
Těžnice: t_b = 12,20765556157
Těžnice: t_c = 6,34442887702

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,71444835702
Poloměr opsané kružnice: R = 8.98996282764

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[6,64770588235; 6,06876691568]
Těžiště: T[7,88223529412; 2,02325563856]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -2,63769268967]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 2,71444835702]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,62662138002° = 149°37'34″ = 0,53301225755 rad
∠ B' = β' = 137,60990714569° = 137°36'33″ = 0,74398612761 rad
∠ C' = γ' = 72,76547147429° = 72°45'53″ = 1,87216088021 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 12 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 12 + 17 = 38

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 9) (19 - 12) (19 - 17) S = 2660 = 51, 58

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 8}{9} = 11, 46 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 8}{1 2} = 8, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 8}{1 7} = 6, 07

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 7}) = 30 ° 2 2^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 7}) = 42 ° 2 3^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 2 2^{'} 26 " - 42 ° 2 3^{'} 27 " = 107 ° 1 4^{'} 7 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 1 , 5 8}{1 9} = 2, 71

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 2 \cdot 1 7}{4 \cdot 2 , 7 1 4 \cdot 1 9} = 8, 9

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 14, 009 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 12, 207 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 6, 344

Vypočítat další trojúhelník