Trojúhelník 9 12 20
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 12
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 31,65333963423
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Úhel ∠ A = α = 15,29443719921° = 15°17'40″ = 0,26769371483 rad
Úhel ∠ B = β = 20,59215995516° = 20°35'30″ = 0,35993912104 rad
Úhel ∠ C = γ = 144,11440284563° = 144°6'51″ = 2,51552642949 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,03440880761
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,2765566057
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,16553396342
Těžnice: ta = 15,86766316526
Těžnice: tb = 14.33003496461
Těžnice: tc = 3,53655339059
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,54440681143
Poloměr opsané kružnice: R = 17,06597806997
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[8,425; 3,16553396342]
Těžiště: T[9,475; 1,05551132114]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -13,82215815854]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 1,54440681143]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,70656280079° = 164°42'20″ = 0,26769371483 rad
∠ B' = β' = 159,40884004484° = 159°24'30″ = 0,35993912104 rad
∠ C' = γ' = 35,88659715437° = 35°53'9″ = 2,51552642949 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=12 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+12+20=41
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−9)(20,5−12)(20,5−20) S=1001,94=31,65
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 31,65=7,03 vb=b2 S=122⋅ 31,65=5,28 vc=c2 S=202⋅ 31,65=3,17
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−92)=15°17′40" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2092+202−122)=20°35′30" γ=180°−α−β=180°−15°17′40"−20°35′30"=144°6′51"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=20,531,65=1,54
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,544⋅ 20,59⋅ 12⋅ 20=17,06
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 202−92=15,867 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 92−122=14,3 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 122−202=3,536
Vypočítat další trojúhelník