Trojúhelník 9 13 15

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 13
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 58,16551742884
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Úhel ∠ A = α = 36,62443415398° = 36°37'28″ = 0,63992153462 rad
Úhel ∠ B = β = 59,50987077655° = 59°30'31″ = 1,03986228841 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,86769506947° = 83°52'1″ = 1,46437544232 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,92655942863
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,94884883521
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,75553565718

Těžnice: t_a = 13,29547358003
Těžnice: t_b = 10,52437825899
Těžnice: t_c = 8,29215619759

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,1444063475
Poloměr opsané kružnice: R = 7,54331734774

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[4,56766666667; 7,75553565718]
Těžiště: T[6,52222222222; 2,58551188573]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 0,80658946023]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 3,1444063475]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,37656584602° = 143°22'32″ = 0,63992153462 rad
∠ B' = β' = 120,49112922345° = 120°29'29″ = 1,03986228841 rad
∠ C' = γ' = 96,13330493053° = 96°7'59″ = 1,46437544232 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 13 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 13 + 15 = 37

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7}{2} = 18, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 5 (18, 5 - 9) (18, 5 - 13) (18, 5 - 15) S = 3383, 19 = 58, 17

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 8 , 1 7}{9} = 12, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 8 , 1 7}{1 3} = 8, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 8 , 1 7}{1 5} = 7, 76

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}) = 36 ° 3 7^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 59 ° 3 0^{'} 31 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 3 7^{'} 28 " - 59 ° 3 0^{'} 31 " = 83 ° 5 2^{'} 1 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 8 , 1 7}{1 8 , 5} = 3, 14

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 3 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 1 4 4 \cdot 1 8 , 5} = 7, 54

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 13, 295 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 10, 524 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 8, 292

Vypočítat další trojúhelník