Trojúhelník 9 13 21
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 13
c = 21
Obsah trojúhelníku: S = 33,79662645865
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Úhel ∠ A = α = 14,33550459687° = 14°20'6″ = 0,25501937506 rad
Úhel ∠ B = β = 20,95548664178° = 20°57'18″ = 0,36657314133 rad
Úhel ∠ C = γ = 144,71100876135° = 144°42'36″ = 2,52656674897 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,51102810192
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,1999425321
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,21986918654
Těžnice: ta = 16,87545370307
Těžnice: tb = 14,79901994577
Těžnice: tc = 3,84105728739
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,57219192831
Poloměr opsané kružnice: R = 18,17550855462
Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[8,40547619048; 3,21986918654]
Těžiště: T[9,80215873016; 1,07328972885]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -14,83552193988]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 1,57219192831]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,66549540313° = 165°39'54″ = 0,25501937506 rad
∠ B' = β' = 159,04551335822° = 159°2'42″ = 0,36657314133 rad
∠ C' = γ' = 35,29899123865° = 35°17'24″ = 2,52656674897 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=13 c=21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+13+21=43
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−9)(21,5−13)(21,5−21) S=1142,19=33,8
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 33,8=7,51 vb=b2 S=132⋅ 33,8=5,2 vc=c2 S=212⋅ 33,8=3,22
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 21132+212−92)=14°20′6" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2192+212−132)=20°57′18" γ=180°−α−β=180°−14°20′6"−20°57′18"=144°42′36"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=21,533,8=1,57
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,572⋅ 21,59⋅ 13⋅ 21=18,18
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 212−92=16,875 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 92−132=14,79 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 132−212=3,841
Vypočítat další trojúhelník