Trojúhelník 9 14 15

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 14
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 61,64441400297
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Úhel ∠ A = α = 35,95105676196° = 35°57'2″ = 0,62774557729 rad
Úhel ∠ B = β = 65,95879240942° = 65°57'29″ = 1,15111829432 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,09215082861° = 78°5'29″ = 1,36329539374 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,69986977844
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,80663057185
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,21992186706

Těžnice: t_a = 13,79331142241
Těžnice: t_b = 10,19880390272
Těžnice: t_c = 9,06991785736

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,24444284226
Poloměr opsané kružnice: R = 7,66549621484

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[3,66766666667; 8,21992186706]
Těžiště: T[6,22222222222; 2,74397395569]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 1,5821658856]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 3,24444284226]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,04994323804° = 144°2'58″ = 0,62774557729 rad
∠ B' = β' = 114,04220759058° = 114°2'31″ = 1,15111829432 rad
∠ C' = γ' = 101,90884917139° = 101°54'31″ = 1,36329539374 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 14 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 14 + 15 = 38

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 9) (19 - 14) (19 - 15) S = 3800 = 61, 64

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{9} = 13, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{1 4} = 8, 81 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{1 5} = 8, 22

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}) = 35 ° 5 7^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 65 ° 5 7^{'} 29 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5 7^{'} 2 " - 65 ° 5 7^{'} 29 " = 78 ° 5^{'} 29 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 1 , 6 4}{1 9} = 3, 24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 4 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 2 4 4 \cdot 1 9} = 7, 66

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 13, 793 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 198 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 9, 069

Vypočítat další trojúhelník