Trojúhelník 9 14 18
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 14
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 61,8954567613
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Úhel ∠ A = α = 29,42112427193° = 29°25'16″ = 0,51334975555 rad
Úhel ∠ B = β = 49,83296961902° = 49°49'47″ = 0,87696922638 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,74990610905° = 100°44'57″ = 1,75884028343 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,75443483584
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,84220810876
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,87771741792
Těžnice: ta = 15,48438625672
Těžnice: tb = 12,39895116934
Těžnice: tc = 7,58328754441
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,01992472006
Poloměr opsané kružnice: R = 9,16107393325
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[5,80655555556; 6,87771741792]
Těžiště: T[7,93551851852; 2,29223913931]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -1,70985505898]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,01992472006]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,57987572807° = 150°34'44″ = 0,51334975555 rad
∠ B' = β' = 130,17703038098° = 130°10'13″ = 0,87696922638 rad
∠ C' = γ' = 79,25109389095° = 79°15'3″ = 1,75884028343 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=14 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+14+18=41
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−9)(20,5−14)(20,5−18) S=3830,94=61,89
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 61,89=13,75 vb=b2 S=142⋅ 61,89=8,84 vc=c2 S=182⋅ 61,89=6,88
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−92)=29°25′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1892+182−142)=49°49′47" γ=180°−α−β=180°−29°25′16"−49°49′47"=100°44′57"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=20,561,89=3,02
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,019⋅ 20,59⋅ 14⋅ 18=9,16
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 182−92=15,484 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 92−142=12,39 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 142−182=7,583
Vypočítat další trojúhelník