Trojúhelník 9 15 17

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 15
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 67,36660708369
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Úhel ∠ A = α = 31,89548038856° = 31°53'41″ = 0,55766693421 rad
Úhel ∠ B = β = 61,71550959843° = 61°42'54″ = 1,07771316231 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,39901001302° = 86°23'24″ = 1,50877916884 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,97702379638
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,98221427783
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,92554200985

Těžnice: t_a = 15,38766825534
Těžnice: t_b = 11,34768057179
Těžnice: t_c = 8,98661003778

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,28661497969
Poloměr opsané kružnice: R = 8,51768986832

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[4,26547058824; 7,92554200985]
Těžiště: T[7,08882352941; 2,64218066995]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; 0,53662491763]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 3,28661497969]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,10551961144° = 148°6'19″ = 0,55766693421 rad
∠ B' = β' = 118,28549040157° = 118°17'6″ = 1,07771316231 rad
∠ C' = γ' = 93,61098998698° = 93°36'36″ = 1,50877916884 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 15 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 15 + 17 = 41

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 9) (20, 5 - 15) (20, 5 - 17) S = 4538, 19 = 67, 37

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 7}{9} = 14, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 7}{1 5} = 8, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 7}{1 7} = 7, 93

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 31 ° 5 3^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 7}) = 61 ° 4 2^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 5 3^{'} 41 " - 61 ° 4 2^{'} 54 " = 86 ° 2 3^{'} 24 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 , 3 7}{2 0 , 5} = 3, 29

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 2 8 6 \cdot 2 0 , 5} = 8, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 15, 387 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 11, 347 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 8, 986

Vypočítat další trojúhelník