Trojúhelník 9 16 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 16
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 40,17438409914
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 12,07877450929° = 12°4'40″ = 0,21107964181 rad
Úhel ∠ B = β = 21,83877815071° = 21°50'16″ = 0,38111411886 rad
Úhel ∠ C = γ = 146,08444734° = 146°5'4″ = 2,55496550469 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,92875202203
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,02217301239
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,34878200826

Těžnice: t_a = 19,89334662641
Těžnice: t_b = 16,26334559673
Těžnice: t_c = 4,95497474683

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,64397486119
Poloměr opsané kružnice: R = 21,50765320786

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[8,35441666667; 3,34878200826]
Těžiště: T[10,78547222222; 1,11659400275]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -17,84774346069]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 1,64397486119]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,92222549071° = 167°55'20″ = 0,21107964181 rad
∠ B' = β' = 158,16222184929° = 158°9'44″ = 0,38111411886 rad
∠ C' = γ' = 33,91655266° = 33°54'56″ = 2,55496550469 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 16 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 16 + 24 = 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 9) (24, 5 - 16) (24, 5 - 24) S = 1613, 94 = 40, 17

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 1 7}{9} = 8, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 1 7}{1 6} = 5, 02 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 1 7}{2 4} = 3, 35

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 4}) = 12 ° 4^{'} 40 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 4}) = 21 ° 5 0^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 4^{'} 40 " - 21 ° 5 0^{'} 16 " = 146 ° 5^{'} 4 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 1 7}{2 4 , 5} = 1, 64

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 6 \cdot 2 4}{4 \cdot 1 , 6 4 \cdot 2 4 , 5} = 21, 51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 19, 893 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 16, 263 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 4, 95

Vypočítat další trojúhelník