Trojúhelník 9 18 21

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 18
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 80,498844719
Obvod trojúhelníku: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Úhel ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Úhel ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,889854382
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,944427191
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,667651878

Těžnice: t_a = 19,03328663107
Těžnice: t_b = 13,4166407865
Těžnice: t_c = 9,60546863561

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,35441019662
Poloměr opsané kružnice: R = 10,56554211937

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[4,71442857143; 7,667651878]
Těžiště: T[8,57114285714; 2,556550626]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -1,17439356882]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,35441019662]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 18 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 18 + 21 = 48

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 9) (24 - 18) (24 - 21) S = 6480 = 80, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 0 , 5}{9} = 17, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 0 , 5}{1 8} = 8, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 0 , 5}{2 1} = 7, 67

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 1}) = 25 ° 1 2^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 1}) = 58 ° 2 4^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 1 2^{'} 32 " - 58 ° 2 4^{'} 43 " = 96 ° 2 2^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 0 , 5}{2 4} = 3, 35

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 8 \cdot 2 1}{4 \cdot 3 , 3 5 4 \cdot 2 4} = 10, 57

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 19, 033 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 13, 416 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 9, 605

Vypočítat další trojúhelník