Trojúhelník 9 21 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 21
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 90,92440754696
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Úhel ∠ A = α = 20,26659019313° = 20°15'57″ = 0,35437067146 rad
Úhel ∠ B = β = 53,92218000282° = 53°55'18″ = 0,94111129491 rad
Úhel ∠ C = γ = 105,81222980405° = 105°48'44″ = 1,84767729899 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,20553501044
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,6599435759
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,27439260376

Těžnice: t_a = 22,64439837484
Těžnice: t_b = 15,58804364509
Těžnice: t_c = 10,23547447452

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,30663300171
Poloměr opsané kružnice: R = 12,9921608591

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[5,3; 7,27439260376]
Těžiště: T[10,1; 2,42546420125]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -3,54400414944]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,30663300171]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,73440980687° = 159°44'3″ = 0,35437067146 rad
∠ B' = β' = 126,07881999718° = 126°4'42″ = 0,94111129491 rad
∠ C' = γ' = 74,18877019595° = 74°11'16″ = 1,84767729899 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 21 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 21 + 25 = 55

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 9) (27, 5 - 21) (27, 5 - 25) S = 8267, 19 = 90, 92

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 0 , 9 2}{9} = 20, 21 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 0 , 9 2}{2 1} = 8, 66 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 0 , 9 2}{2 5} = 7, 27

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 20 ° 1 5^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 5}) = 53 ° 5 5^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 20 ° 1 5^{'} 57 " - 53 ° 5 5^{'} 18 " = 105 ° 4 8^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 0 , 9 2}{2 7 , 5} = 3, 31

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 1 \cdot 2 5}{4 \cdot 3 , 3 0 6 \cdot 2 7 , 5} = 12, 99

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 22, 644 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 15, 58 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 10, 235

Vypočítat další trojúhelník