Trojúhelník 9 23 28

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 23
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 93,9154855055
Obvod trojúhelníku: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30

Úhel ∠ A = α = 16,95774262942° = 16°57'27″ = 0,29659629215 rad
Úhel ∠ B = β = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,85328886016° = 114°51'10″ = 2,00545610615 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,876996779
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,16765091352
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,70882039325

Těžnice: t_a = 25,22439965113
Těžnice: t_b = 17,32877234512
Těžnice: t_c = 10,44403065089

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,13304951685
Poloměr opsané kružnice: R = 15,42988690447

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[6; 6,70882039325]
Těžiště: T[11,33333333333; 2,23660679775]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; -6,48545971347]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,13304951685]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,04325737058° = 163°2'33″ = 0,29659629215 rad
∠ B' = β' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ C' = γ' = 65,14771113984° = 65°8'50″ = 2,00545610615 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 23 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 23 + 28 = 60

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 0}{2} = 30

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30 (30 - 9) (30 - 23) (30 - 28) S = 8820 = 93, 91

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9 1}{9} = 20, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9 1}{2 3} = 8, 17 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9 1}{2 8} = 6, 71

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 8}) = 16 ° 5 7^{'} 27 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 8}) = 48 ° 1 1^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 5 7^{'} 27 " - 48 ° 1 1^{'} 23 " = 114 ° 5 1^{'} 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 3 , 9 1}{3 0} = 3, 13

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 3 \cdot 2 8}{4 \cdot 3 , 1 3 \cdot 3 0} = 15, 43

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 25, 224 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 17, 328 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 10, 44

Vypočítat další trojúhelník