Trojúhelník 9 24 28

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 24
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 103,22876004758
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Úhel ∠ A = α = 17,89220755157° = 17°53'31″ = 0,31222756278 rad
Úhel ∠ B = β = 55,01114518867° = 55°41″ = 0,96601309617 rad
Úhel ∠ C = γ = 107,09664725975° = 107°5'47″ = 1,86991860641 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 22,93994667724
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,60223000397
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,3733400034

Těžnice: t_a = 25,68655990781
Těžnice: t_b = 16,98552877515
Těžnice: t_c = 11,51108644332

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,3854511491
Poloměr opsané kružnice: R = 14,64772454366

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[5,16107142857; 7,3733400034]
Těžiště: T[11,05435714286; 2,45878000113]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; -4,30660189131]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,3854511491]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,10879244843° = 162°6'29″ = 0,31222756278 rad
∠ B' = β' = 124,98985481133° = 124°59'19″ = 0,96601309617 rad
∠ C' = γ' = 72,90435274025° = 72°54'13″ = 1,86991860641 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 24 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 24 + 28 = 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 9) (30, 5 - 24) (30, 5 - 28) S = 10655, 94 = 103, 23

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 2 3}{9} = 22, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 2 3}{2 4} = 8, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 2 3}{2 8} = 7, 37

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 8}) = 17 ° 5 3^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 8}) = 55 ° 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 5 3^{'} 31 " - 55 ° 41 " = 107 ° 5^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 3 , 2 3}{3 0 , 5} = 3, 38

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 4 \cdot 2 8}{4 \cdot 3 , 3 8 5 \cdot 3 0 , 5} = 14, 65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 25, 686 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 16, 985 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 11, 511

Vypočítat další trojúhelník