Trojúhelník 9 24 29

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 24
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 97,71438680024
Obvod trojúhelníku: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Úhel ∠ A = α = 16,3077179561° = 16°18'26″ = 0,28546139751 rad
Úhel ∠ B = β = 48,48435348519° = 48°29'1″ = 0,84661973162 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,20992855871° = 115°12'33″ = 2,01107813624 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,71441928894
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,14328223335
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,73988874484

Těžnice: t_a = 26,23545192447
Těžnice: t_b = 17,80444938148
Těžnice: t_c = 10,87442815855

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,15220602581
Poloměr opsané kružnice: R = 16,02663842995

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[5,96655172414; 6,73988874484]
Těžiště: T[11,65551724138; 2,24662958161]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -6,8266052572]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,15220602581]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,6932820439° = 163°41'34″ = 0,28546139751 rad
∠ B' = β' = 131,51664651482° = 131°30'59″ = 0,84661973162 rad
∠ C' = γ' = 64,79107144129° = 64°47'27″ = 2,01107813624 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 24 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 24 + 29 = 62

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 2}{2} = 31

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31 (31 - 9) (31 - 24) (31 - 29) S = 9548 = 97, 71

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 7 , 7 1}{9} = 21, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 7 , 7 1}{2 4} = 8, 14 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 7 , 7 1}{2 9} = 6, 74

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 9}) = 16 ° 1 8^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 9}) = 48 ° 2 9^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 1 8^{'} 26 " - 48 ° 2 9^{'} 1 " = 115 ° 1 2^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 7 , 7 1}{3 1} = 3, 15

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 4 \cdot 2 9}{4 \cdot 3 , 1 5 2 \cdot 3 1} = 16, 03

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 26, 235 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 17, 804 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 10, 874

Vypočítat další trojúhelník