Trojúhelník 9 24 30
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 24
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 89,29441067484
Obvod trojúhelníku: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Úhel ∠ A = α = 14,36215115629° = 14°21'41″ = 0,25106556623 rad
Úhel ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ C = γ = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 2,16882027434 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,8433134833
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,44111755624
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,95329404499
Těžnice: ta = 26,79108566492
Těžnice: tb = 18,6154510469
Těžnice: tc = 10,17334949747
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,83547335476
Poloměr opsané kružnice: R = 18,14222947044
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[6,75; 5,95329404499]
Těžiště: T[12,25; 1,98443134833]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -10,20550407712]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 2,83547335476]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,63884884371° = 165°38'19″ = 0,25106556623 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 2,16882027434 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=24 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+24+30=63
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−9)(31,5−24)(31,5−30) S=7973,44=89,29
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 89,29=19,84 vb=b2 S=242⋅ 89,29=7,44 vc=c2 S=302⋅ 89,29=5,95
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 30242+302−92)=14°21′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 3092+302−242)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−14°21′41"−41°24′35"=124°13′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=31,589,29=2,83
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,835⋅ 31,59⋅ 24⋅ 30=18,14
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 302−92=26,791 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 92−242=18,615 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 242−302=10,173
Vypočítat další trojúhelník