Trojúhelník 9 25 29

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 25
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 107,31881601594
Obvod trojúhelníku: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5

Úhel ∠ A = α = 17,22105164629° = 17°13'14″ = 0,30105547112 rad
Úhel ∠ B = β = 55,32218804133° = 55°19'19″ = 0,96655489616 rad
Úhel ∠ C = γ = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,87554889808 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 23,84884800354
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,58554528128
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,40112524248

Těžnice: t_a = 26,69773781484
Těžnice: t_b = 17,45770902501
Těžnice: t_c = 11,94878031453

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,40769257193
Poloměr opsané kružnice: R = 15.22001301325

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[5,12106896552; 7,40112524248]
Těžiště: T[11,37435632184; 2,46770841416]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -4,56600390397]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,40769257193]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,77994835371° = 162°46'46″ = 0,30105547112 rad
∠ B' = β' = 124,67881195867° = 124°40'41″ = 0,96655489616 rad
∠ C' = γ' = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,87554889808 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 25 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 25 + 29 = 63

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 3}{2} = 31, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31, 5 (31, 5 - 9) (31, 5 - 25) (31, 5 - 29) S = 11517, 19 = 107, 32

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 3 2}{9} = 23, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 3 2}{2 5} = 8, 59 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 3 2}{2 9} = 7, 4

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 2 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 2 9}) = 17 ° 1 3^{'} 14 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 9}) = 55 ° 1 9^{'} 19 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 1 3^{'} 14 " - 55 ° 1 9^{'} 19 " = 107 ° 2 7^{'} 27 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 7 , 3 2}{3 1 , 5} = 3, 41

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 5 \cdot 2 9}{4 \cdot 3 , 4 0 7 \cdot 3 1 , 5} = 15, 2

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 26, 697 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 17, 457 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 11, 948

Vypočítat další trojúhelník