Trojúhelník 9 25 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 25
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 101,50986203236
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Úhel ∠ A = α = 15,70553094058° = 15°42'19″ = 0,27441093592 rad
Úhel ∠ B = β = 48,75765958652° = 48°45'24″ = 0,85109631299 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,5388094729° = 115°32'17″ = 2,01765201645 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 22,5577471183
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,12106896259
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,76772413549

Těžnice: t_a = 27,24442654517
Těžnice: t_b = 18,28325052988
Těžnice: t_c = 11,3143708499

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,17221443851
Poloměr opsané kružnice: R = 16,62442038816

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[5,93333333333; 6,76772413549]
Těžiště: T[11,97877777778; 2,25657471183]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -7,16768790067]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,17221443851]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,29546905942° = 164°17'41″ = 0,27441093592 rad
∠ B' = β' = 131,24334041348° = 131°14'36″ = 0,85109631299 rad
∠ C' = γ' = 64,4621905271° = 64°27'43″ = 2,01765201645 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 25 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 25 + 30 = 64

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 9) (32 - 25) (32 - 30) S = 10304 = 101, 51

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 5 1}{9} = 22, 56 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 5 1}{2 5} = 8, 12 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 5 1}{3 0} = 6, 77

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 3 0}) = 15 ° 4 2^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 3 0}) = 48 ° 4 5^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 4 2^{'} 19 " - 48 ° 4 5^{'} 24 " = 115 ° 3 2^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 1 , 5 1}{3 2} = 3, 17

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 3 , 1 7 2 \cdot 3 2} = 16, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 27, 244 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 18, 283 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 11, 314

Vypočítat další trojúhelník