Trojúhelník 9 27 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 27
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 119,39884924528
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Úhel ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Úhel ∠ B = β = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 1,08552782045 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,67219292858° = 100°40'19″ = 1,75770566304 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 26,53329983228
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,84443327743
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,96598994969

Těžnice: t_a = 28,18224413421
Těžnice: t_b = 17,55770498661
Těžnice: t_c = 13,4166407865

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,61881361349
Poloměr opsané kružnice: R = 15,26440118192

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[4,2; 7,96598994969]
Těžiště: T[11,4; 2,65332998323]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -2,82766688554]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,61881361349]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 1,08552782045 rad
∠ C' = γ' = 79,32880707142° = 79°19'41″ = 1,75770566304 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 27 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 27 + 30 = 66

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 9) (33 - 27) (33 - 30) S = 14256 = 119, 4

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 4}{9} = 26, 53 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 4}{2 7} = 8, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 4}{3 0} = 7, 96

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 3 0}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 3 0}) = 62 ° 1 0^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 62 ° 1 0^{'} 55 " = 100 ° 4 0^{'} 19 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 9 , 4}{3 3} = 3, 62

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 7 \cdot 3 0}{4 \cdot 3 , 6 1 8 \cdot 3 3} = 15, 26

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 28, 182 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 17, 557 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 13, 416

Vypočítat další trojúhelník