Trojúhelník 9.4 10.7 13.3

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9,4
b = 10,7
c = 13,3

Obsah trojúhelníku: S = 49,86994696182
Obvod trojúhelníku: o = 33,4
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,7

Úhel ∠ A = α = 44,49657901993° = 44°29'45″ = 0,77765980423 rad
Úhel ∠ B = β = 52,9198995454° = 52°55'8″ = 0,92436107075 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,58552143467° = 82°35'7″ = 1,44113839038 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,61105254507
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,32113961903
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,49991683636

Těžnice: t_a = 11,11875536877
Těžnice: t_b = 10,1988161599
Těžnice: t_c = 7,56332334355

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,98661957855
Poloměr opsané kružnice: R = 6,70660769357

Souřadnice vrcholů: A[13,3; 0] B[0; 0] C[5,66876691729; 7,49991683636]
Těžiště: T[6,3232556391; 2.54997227879]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,65; 0,86554292963]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,98661957855]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,50442098007° = 135°30'15″ = 0,77765980423 rad
∠ B' = β' = 127,0811004546° = 127°4'52″ = 0,92436107075 rad
∠ C' = γ' = 97,41547856533° = 97°24'53″ = 1,44113839038 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9, 4 b = 10, 7 c = 13, 3

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9, 4 + 10, 7 + 13, 3 = 33, 4

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3 , 4}{2} = 16, 7

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 7 (16, 7 - 9, 4) (16, 7 - 10, 7) (16, 7 - 13, 3) S = 2486, 96 = 49, 87

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 9 , 8 7}{9 , 4} = 10, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 9 , 8 7}{1 0 , 7} = 9, 32 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 9 , 8 7}{1 3 , 3} = 7, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 , 7 ^{2} + 1 3 , 3 ^{2} - 9 , 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 7 \cdot 1 3 , 3}) = 44 ° 2 9^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 , 4 ^{2} + 1 3 , 3 ^{2} - 1 0 , 7 ^{2}}{2 \cdot 9 , 4 \cdot 1 3 , 3}) = 52 ° 5 5^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 9^{'} 45 " - 52 ° 5 5^{'} 8 " = 82 ° 3 5^{'} 7 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 9 , 8 7}{1 6 , 7} = 2, 99

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 , 4 \cdot 1 0 , 7 \cdot 1 3 , 3}{4 \cdot 2 , 9 8 6 \cdot 1 6 , 7} = 6, 71

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 7 ^{2} + 2 \cdot 1 3 , 3 ^{2} - 9 , 4 ^{2}}{2} = 11, 118 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 ^{2} + 2 \cdot 9 , 4 ^{2} - 1 0 , 7 ^{2}}{2} = 10, 198 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 7 ^{2} - 1 3 , 3 ^{2}}{2} = 7, 563

Vypočítat další trojúhelník