Trojuholník 10 11.18 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 11,18
c = 15

Obsah trojuholníka: S = 55.98999999677
Obvod trojuholníka: o = 36,18
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,09

Uhol ∠ A = α = 41,81103148662° = 41°48'37″ = 0,73297276557 rad
Uhol ∠ B = β = 48,18877376923° = 48°11'16″ = 0,84110346818 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,00219474415° = 90°7″ = 1,57108303161 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 11,18799999935
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10.9999999942
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,4533333329

Ťažnica: t_a = 12,24772935786
Ťažnica: t_b = 11,45765221599
Ťažnica: t_c = 7.54997466624

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,09901050286
Polomer opísanej kružnice: R = 7.55000000043

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,667692; 7,4533333329]
Ťažisko: T[7,22223066667; 2,4844444443]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -00,0002549195]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,91; 3,09901050286]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,19896851338° = 138°11'23″ = 0,73297276557 rad
∠ B' = β' = 131,81222623077° = 131°48'44″ = 0,84110346818 rad
∠ C' = γ' = 89,99880525585° = 89°59'53″ = 1,57108303161 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 11, 18 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 11, 18 + 15 = 36, 18

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6 , 1 8}{2} = 18, 09

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 09 (18, 09 - 10) (18, 09 - 11, 18) (18, 09 - 15) S = 3124, 81 = 55, 9

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 , 9}{1 0} = 11, 18 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 , 9}{1 1 , 1 8} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 , 9}{1 5} = 7, 45

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 , 1 8 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 , 1 8 \cdot 1 5}) = 41 ° 4 8^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 1 , 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5}) = 48 ° 1 1^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 4 8^{'} 37 " - 48 ° 1 1^{'} 16 " = 90 ° 7 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 , 9}{1 8 , 0 9} = 3, 09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 1 , 1 8 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 0 9 \cdot 1 8 , 0 9} = 7, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník