Trojuholník 11.2 6.5 8.3




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11,2   b = 6,5   c = 8,3

Obsah trojuholníka: S = 26,73770529416
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Uhol ∠ A = α = 97,61658228711° = 97°36'57″ = 1,70437175111 rad
Uhol ∠ B = β = 35,11662871715° = 35°6'59″ = 0,61328948322 rad
Uhol ∠ C = γ = 47,26878899574° = 47°16'4″ = 0,82549803102 rad

Výška trojuholníka: va = 4,77444737396
Výška trojuholníka: vb = 8,22767855205
Výška trojuholníka: vc = 6,44326633594

Ťažnica: ta = 4,92203658401
Ťažnica: tb = 9,30660464215
Ťažnica: tc = 8,16222607162

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,05766963801
Polomer opísanej kružnice: R = 5,65498373374

Súradnice vrcholov: A[8,3; 0] B[0; 0] C[9,16114457831; 6,44326633594]
Ťažisko: T[5,82204819277; 2,14875544531]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,15; 3,83438181932]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,05766963801]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 82,38441771289° = 82°23'3″ = 1,70437175111 rad
∠ B' = β' = 144,88437128285° = 144°53'1″ = 0,61328948322 rad
∠ C' = γ' = 132,73221100426° = 132°43'56″ = 0,82549803102 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11,2 b=6,5 c=8,3

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=11,2+6,5+8,3=26

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=226=13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=13(1311,2)(136,5)(138,3) S=714,87=26,74

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=11,22 26,74=4,77 vb=b2 S=6,52 26,74=8,23 vc=c2 S=8,32 26,74=6,44

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 6,5 8,36,52+8,3211,22)=97°3657"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 11,2 8,311,22+8,326,52)=35°659" γ=180°αβ=180°97°3657"35°659"=47°164"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1326,74=2,06

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,057 1311,2 6,5 8,3=5,65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 6,52+2 8,3211,22=4,92 tb=22c2+2a2b2=22 8,32+2 11,226,52=9,306 tc=22a2+2b2c2=22 11,22+2 6,528,32=8,162

Vypočítať ďaľší trojuholník