Pravouhlý trojuholník kalkulačka (B)

Zadané prepona c a uhol β.

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 14,48988873943 b = 3,88222856765 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 28,125
Obvod trojuholníka: o = 33,37111730709
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,68655865354

Uhol ∠ A = α = 75° = 1,3098996939 rad
Uhol ∠ B = β = 15° = 0,26217993878 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka: v_a = 3,88222856765
Výška trojuholníka: v_b = 14,48988873943
Výška trojuholníka: v_c = 3,75

Ťažnica: t_a = 8,21991305231
Ťažnica: t_b = 14,61883409949
Ťažnica: t_c = 7,5

Úsek c_a = 1,00548094716
Úsek c_b = 13,99551905284

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,68655865354
Polomer opísanej kružnice: R = 7,5

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[13,99551905284; 3,75]
Ťažisko: T[9,66550635095; 1,25]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12,80333008589; 1,68655865354]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 105° = 1,3098996939 rad
∠ B' = β' = 165° = 0,26217993878 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: prepona c a uhol β

c = 15 β = 25 °

2. Z úhla β vypočítame uhol α:

α + β + 90 ° = 180 ° α = 90 ° - β = 90 ° - 15 ° = 75 °

3. Z prepony c a úhla α vypočítame odvesnu a:

sin α = a : c a = c \cdot sin α = 15 \cdot sin (75 °) = 14, 489

4. Z odvesny a a prepony c vypočítame odvesnu b - Pytagorova veta:

c^{2} = a^{2} + b^{2} b = c^{2} - a^{2} = 1 5^{2} - 14, 48 9^{2} = 3, 882

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 14, 49 b = 3, 88 c = 15

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14, 49 + 3, 88 + 15 = 33, 37

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3 , 3 7}{2} = 16, 69

7. Obsah trojuholníka

S = \frac{a b}{2} = \frac{1 4 , 4 9 \cdot 3 , 8 8}{2} = 28, 13

8. Výpočet výšiek pravoúhleho trojuholníku z jeho obsahu.

v_{a} = b = 3, 88 v_{b} = a = 14, 49 S = \frac{c v _{c}}{2} v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 8 , 1 3}{1 5} = 3, 75

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka - základné použitie sínus funkcie

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{1 4 , 4 9}{1 5}) = 75 ° sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{3 , 8 8}{1 5}) = 15 ° γ = 90 °

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 8 , 1 3}{1 6 , 6 9} = 1, 69

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{c}{2} = \frac{1 5}{2} = 7, 5

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 3, 8 8^{2} + (14, 49 / 2)^{2} = 8, 219 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 14, 4 9^{2} + (3, 88 / 2)^{2} = 14, 618 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{1 5}{2} = 7, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník