Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 11,18
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 55.98999999677
Obvod trojuholníka: o = 36,18
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,09
Uhol ∠ A = α = 41,81103148662° = 41°48'37″ = 0,73297276557 rad
Uhol ∠ B = β = 48,18877376923° = 48°11'16″ = 0,84110346818 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,00219474415° = 90°7″ = 1,57108303161 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,18799999935
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10.9999999942
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,4533333329
Ťažnica: ta = 12,24772935786
Ťažnica: tb = 11,45765221599
Ťažnica: tc = 7.54997466624
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,09901050286
Polomer opísanej kružnice: R = 7.55000000043
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,667692; 7,4533333329]
Ťažisko: T[7,22223066667; 2,4844444443]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -00,0002549195]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,91; 3,09901050286]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,19896851338° = 138°11'23″ = 0,73297276557 rad
∠ B' = β' = 131,81222623077° = 131°48'44″ = 0,84110346818 rad
∠ C' = γ' = 89,99880525585° = 89°59'53″ = 1,57108303161 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=11,18 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+11,18+15=36,18
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236,18=18,09
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,09(18,09−10)(18,09−11,18)(18,09−15) S=3124,81=55,9
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 55,9=11,18 vb=b2 S=11,182⋅ 55,9=10 vc=c2 S=152⋅ 55,9=7,45
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11,18⋅ 1511,182+152−102)=41°48′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−11,182)=48°11′16" γ=180°−α−β=180°−41°48′37"−48°11′16"=90°7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,0955,9=3,09
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,09⋅ 18,0910⋅ 11,18⋅ 15=7,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.Vypočítať ďaľší trojuholník