Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 17
b = 9,07
c = 19,27

Obsah trojuholníka: S = 77,09549981257
Obvod trojuholníka: o = 45,34
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,67

Uhol ∠ A = α = 61,90989328826° = 61°54'32″ = 1,08105147152 rad
Uhol ∠ B = β = 28,07884329873° = 28°4'42″ = 0,49900611044 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,01326341301° = 90°45″ = 1,5711016834 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,07699997795
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 176,9999995867
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,00215566295

Ťažnica: t_a = 12,43217697855
Ťažnica: t_b = 17,5955460352
Ťažnica: t_c = 9,63332354378

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,4010749807
Polomer opísanej kružnice: R = 9,63550002342

Súradnice vrcholov: A[19,27; 0] B[0; 0] C[14,99991696938; 8,00215566295]
Ťažisko: T[11,42330565646; 2,66771855432]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,635; -0,00221245866]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13,6; 3,4010749807]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 118,09110671174° = 118°5'28″ = 1,08105147152 rad
∠ B' = β' = 151,92215670127° = 151°55'18″ = 0,49900611044 rad
∠ C' = γ' = 89,98773658699° = 89°59'15″ = 1,5711016834 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 17 b = 9, 07 c = 19, 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 17 + 9, 07 + 19, 27 = 45, 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5 , 3 4}{2} = 22, 67

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 67 (22, 67 - 17) (22, 67 - 9, 07) (22, 67 - 19, 27) S = 5943, 64 = 77, 09

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 7 , 0 9}{1 7} = 9, 07 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 7 , 0 9}{9 , 0 7} = 17 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 7 , 0 9}{1 9 , 2 7} = 8

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 , 0 7 ^{2} + 1 9 , 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 9 , 0 7 \cdot 1 9 , 2 7}) = 61 ° 5 4^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 9 , 2 7 ^{2} - 9 , 0 7 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 9 , 2 7}) = 28 ° 4^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 61 ° 5 4^{'} 32 " - 28 ° 4^{'} 42 " = 90 ° 45 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 7 , 0 9}{2 2 , 6 7} = 3, 4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 9 , 0 7 \cdot 1 9 , 2 7}{4 \cdot 3 , 4 0 1 \cdot 2 2 , 6 7} = 9, 64

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 0 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 , 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 12, 432 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 , 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 9 , 0 7 ^{2}}{2} = 17, 595 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 9 , 0 7 ^{2} - 1 9 , 2 7 ^{2}}{2} = 9, 633

Vypočítať ďaľší trojuholník