Výpočet trojuholníka SSS - výsledok




Prosím zadajte tri strany trojuholníka:


Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15   b = 14   c = 16

Obsah trojuholníka: S = 96,55879489219
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 59,55659700416° = 59°33'21″ = 1,03994477664 rad
Uhol ∠ B = β = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Uhol ∠ C = γ = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,16770598458 rad

Výška trojuholníka: va = 12,87443931896
Výška trojuholníka: vb = 13,79439927031
Výška trojuholníka: vc = 12,07697436152

Ťažnica: ta = 13,02988142208
Ťažnica: tb = 13,83883525031
Ťažnica: tc = 12,10437184369

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,29114643965
Polomer opísanej kružnice: R = 8,69994391387

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[8,906625; 12,07697436152]
Ťažisko: T[8,30220833333; 4,02332478717]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 3,41876368045]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,29114643965]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120,4444029958° = 120°26'39″ = 1,03994477664 rad
∠ B' = β' = 126,4243573642° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ C' = γ' = 113,1322396399° = 113°7'57″ = 1,16770598458 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=15+14+16=45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=452=22.5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=22.5(22.515)(22.514)(22.516) S=9323.44=96.56

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 96.5615=12.87 vb=2 Sb=2 96.5614=13.79 vc=2 Sc=2 96.5616=12.07

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(142+1621522 14 16)=59°3321"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(152+1621422 15 16)=53°3435" γ=180°αβ=180°59°3321"53°3435"=66°523"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=96.5622.5=4.29

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=15 14 164 4.291 22.5=8.7R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 15 \cdot \ 14 \cdot \ 16 }{ 4 \cdot \ 4.291 \cdot \ 22.5 } = 8.7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 142+2 1621522=13.029 tb=2c2+2a2b22=2 162+2 1521422=13.838 tc=2a2+2b2c22=2 152+2 1421622=12.104

Vypočítať ďaľší trojuholník